在线性代数中，求解矩阵的特征值与特征向量是考研的必考点，但是特征方程的求解却有一定技巧性，虽然一些代数定理可以 助求解，但若没有观察出行列式的特点，就需要解一个三次方程从而浪费大量时间。
有这样一类的矩阵可以快速求出特征值，这涵盖了考研涉及到的大部分矩阵。包括以下三种，其中第三种是本文重点讲解的类型，因为它

的应用非常广。
①三角矩阵
其特征值就是对角线的所有元素。
②秩为1的矩阵（所有行互相成比例的矩阵、单位矩阵、只有一个元素的矩阵）
其特征值为0? 0? ?0? ?0 ···? ?tr(a)
②形如[b? ?a? ??a?]
?? ? ? ? ? | a? ?b? ?a |
? ? ? ? ? ?[ a ??a? ? b]的矩阵? 总可以化为所有元素均为a的矩阵（rank=1）加上ke
其特征值为k? k? k? k···? ?tr(a)+k? ? 由特征值也可以确定行列式的值。
③ 有一类矩阵设为a，它有二重特征值，那么它必能化为rank=1的矩阵b+ke的形式。
如果我们从考试的角度想，2021考研修改考纲之后，代数只有一道大题，必然将所有计算考进去。如果所求实对称矩阵是三个不同特征值，那么由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，便没有了正交化的过程。所以考研考的大概率是带有二重特征值的矩阵。
当然，这样显然风险是很大的，必须从正面判断它是否符合接下来探讨的使用条件。
关于标题，充分性的证明可以设矩阵a的特征值为1????，则b的特征值就为0? 0??
由相似的必要条件rb=1 即寻找出了秩为1的矩阵，它的特征值是可以直接求出的，在根据特征值的性质就可以求出a的特征值。其必要性的证明是十分简单的 此处从略。
下面定义一个名词“期望矩阵”：欲求其特征值的矩阵，保持其非主对角线元素不变，修改对角线元素使三行互相成比例，则称该矩阵为“期望矩阵”。
显然，期望矩阵b的秩为1.?它的特征值即为0? 0? 0···? tr（b）
对于有二重特征值的矩阵，总能寻找到一个k使得b+ke=a，那么a的特征值就求出来了。
但是仍然有两个待解决的问题：
①如何判断矩阵a有二重特征值？
矩阵a有二重特征值的充分条件是存在“期望矩阵b”，且能化成a=b+ke的形式，则说明矩阵有二重特征值。
②如何寻找k？
下面我将通过一道2021年考研数学一真题来说明这个问题。